На наш взгляд, именно отсутствие у школьника «чувства числа» и порождает проблемы в обучении математике. Причина многих математических неудач кроется, чаще всего, в неверно сформированных ПЕРВИЧНЫХ математических представлениях. Часто родители и учителя учат ребенка оперировать не фактическими количествами, а цифрами! В этом, на наш взгляд, основная причина всех математических проблем.
Мне очень нравится, как один математик, весьма остроумный человек (не помню, к сожалению, его фамилии) сравнивает такой «счет цифрами» со «счетом по-японски». "Давайте встанем на место ребенка и попробуем сами учиться арифметике... но только по-японски! Итак, вот вам первые десять чисел: йти, ни, сан, си, го, року, сити, хати, ку, дзю. Интересно, сколько времени вам потребуется, чтобы хотя бы только выучить эту последовательность наизусть? Когда это наконец удастся, попробуйте считать в обратном направлении, от дзю до ити. Если же и это удается, давайте начнем вычислять. Отвечайте, желательно без запинки и по возможности не переводя, даже в уме, на русский язык: сколько будет к року прибавить сан? А от сити отнять го? А хати поделить на си? А теперь давайте решим задачу: мама купила на базаре ку яблок и дала по ни яблок каждому из си детей; сколько яблок у нее осталось? (Все ответы следует давать тоже по-японски:-)" Если после месяца активных тренировок мы с вами освоим всю эту нелегкую науку и научимся беглому счету в пределах дзю, то нас можно будет поздравить с превосходной механической памятью. Но мы будем все так же далеки от математики.
В связи с этим формулируем Главное Правило:
Учим ребенка не тому «где какая цифра» и «что после чего следует», а формируем количественные представления. Делается это очень просто: в момент, когда ребенок слышит название числа 
(предположим, три), он должен воспринимать визуально ТРИ объекта. А не один в виде цифры 3! Три - это три объекта. Цифра 3 - это не три, это один объект. Это абстрактный знак, который ОБОЗНАЧАЕТ количество, это условное обозначение. Но ребенок до пяти, и уж тем более – до трех лет, - как мы с вами помним – не обладает еще абстрактным мышлением. Его мышление – конкретно-действенное. И поэтому крайне важно на первых этапах формирования математических представлений уделять основное внимание именно КОЛИЧЕСТВУ предметов и количественному счету, а не последовательному.Только потом, после того, как будут сформированы количественные представления, можно будет (за один день!) дать ребенку графическое обозначение количества - знаки, которые обозначают числа - цифры. Образ цифры будет автоматически ассоциативно связываться с образом количества - так зарождается безошибочное "чувство числа". Если же вы пересчитываете с ребенком ступеньки, спускаясь по лестнице, то лучше считать их в порядковом варианте: первая, вторая, третья... Один, два, три - это когда вы считаете непосредственно предметы: баранки на столе, кубики на полу, голуби на улице, которых вы кормите и т.п. Вот, собственно, самое главное.
(предположим, три), он должен воспринимать визуально ТРИ объекта. А не один в виде цифры 3! Три - это три объекта. Цифра 3 - это не три, это один объект. Это абстрактный знак, который ОБОЗНАЧАЕТ количество, это условное обозначение. Но ребенок до пяти, и уж тем более – до трех лет, - как мы с вами помним – не обладает еще абстрактным мышлением. Его мышление – конкретно-действенное. И поэтому крайне важно на первых этапах формирования математических представлений уделять основное внимание именно КОЛИЧЕСТВУ предметов и количественному счету, а не последовательному.Только потом, после того, как будут сформированы количественные представления, можно будет (за один день!) дать ребенку графическое обозначение количества - знаки, которые обозначают числа - цифры. Образ цифры будет автоматически ассоциативно связываться с образом количества - так зарождается безошибочное "чувство числа". Если же вы пересчитываете с ребенком ступеньки, спускаясь по лестнице, то лучше считать их в порядковом варианте: первая, вторая, третья... Один, два, три - это когда вы считаете непосредственно предметы: баранки на столе, кубики на полу, голуби на улице, которых вы кормите и т.п. Вот, собственно, самое главное. У Домана знакомство с цифрами происходит гораздо позже того момента, когда дети начинают вычислять и решать неравенства. Он предлагает также (по типу чтения) показывать карточки с изображениями точек (красных). Это должны быть квадратные карточки, чтобы их показывать все время поворачивая разными сторонами (для того, 
чтобы не запоминался рисунок точек). Один- одна точка, два- две точки и т.д. Просто показываете и говорите число. У него в книжке "Как обучить ребенка математике" подробно описана методика. Знаю одного ребенка, который занимаясь по Доману, в три года квадратные уравнения решал. Ну, это я так- к слову:-)-вдруг вы особое рвение проявите:-) Но лично я пользовалась этими карточками только в пределах 20 (Доман - до100 и даже дальше). А некоторые дети вовсе не воспринимают эти кружочки, и тогда кружочки лучше заменить конкретными предметами – например, клубничками (см. Презентацию "Клубнички").
чтобы не запоминался рисунок точек). Один- одна точка, два- две точки и т.д. Просто показываете и говорите число. У него в книжке "Как обучить ребенка математике" подробно описана методика. Знаю одного ребенка, который занимаясь по Доману, в три года квадратные уравнения решал. Ну, это я так- к слову:-)-вдруг вы особое рвение проявите:-) Но лично я пользовалась этими карточками только в пределах 20 (Доман - до100 и даже дальше). А некоторые дети вовсе не воспринимают эти кружочки, и тогда кружочки лучше заменить конкретными предметами – например, клубничками (см. Презентацию "Клубнички").После знакомства с "двадцаткой" отрабатываем вычислительные навыки, состав числа, даем понятие цифрам, и только потом переходим в сотню - причем, я делаю это на таблице (по типу таблицы стосчета Зайцева) или числовой прямой. Сначала все же советую вам научить ребенка как следует ориентироваться в числах, в количествах, чтобы он реально представлял себе что больше, что меньше, из каких чисел состоит число и пр.
Следующий этап- знакомство с цифрами, и потом сотня. Увидите, что сотня и тысяча будут поняты за пару дней. Они моментально выстраивают логическую линию: если 5+2=7, то 50+20= 70, а 500+200=700 и т.п. Что 57 - это 50 и 7, а 575 -это 500,70 и 5. Им не нужно зазубривать сколько десятков и единиц в числе, "все случаи сложения и вычитания", еще какие-то глупые таблицы, которые заставляют детей в школе учить (в том числе и таблицу умножения - можно понимать, а не зазубривать) - они будут чувствовать эти числа.
Вот как делать таблицу сотни: пишем крупно первый ряд - 1-10, второй ряд строго под первым: 2-20 и т.д. У вас получится горизонтальные и вертикальные ряды чисел. По горизонтали – в каждой строке по одному десятку. Единицы увеличиваются на одну с передвижением вправо. По вертикали - различное количество десятков (в каждом нижнем ряду количество десятков увеличивается на один, а количество единиц одинаковое).
Просто, передвигаясь по этой таблице указкой, можете попросить ребенка выполнить следующие действия: 1. просто считать туда и обратно ОТ какого-то числа и ДО какого-то.
2. находить число, которое следует ПОСЛЕ какого-то, ПЕРЕД каким-то, находится МЕЖДУ такими-то.
3. выполнять сложение и вычитание чисел - двигаясь по таблице. Например, чтобы прибавить 5+3, нужно поставить указку на число 5, и далее передвинуть вправо указку на ТРИ числа - двигаемся раз (число 6), два (число(7), три (число 8). Мы прибавили три - указка остановилась на числе 8. То же самое при вычитании.
4. прибавлять-вычитать десятками – двигаемся по вертикали. Например, чтобы прибавить к 12-ти 30, передвигаемся вниз на три десятка: раз (22), два (32), три (42). Чтобы вычесть – поднимаемся вверх по вертикали.
После этих нехитрых передвижений, вырабатывается понимание состава числа, передвижения по числовой прямой. Кроме того, для ребенка это ЛЕГКО и ПОНЯТНО, а значит все получается, а когда получается, то и нравится. Хвалите почаще! А задачки - нужно придумывать интересные и жизненные. Их можно (и нужно) решать по ходу дела – за обедом, в машине, в трамвае… В конечном итоге, самое главное – это именно интерес, формирование мотивации – а это уже зависит от взрослых, а не от ребенка. Ребенку невозможно объяснить, что он чего-то «должен», невозможно вложить в голову ребенка свои мотивы учения, нужно создать его собственные и приспособиться к ним. И дело не в каких-то методиках – их много хороших (и Петерсон, и Моро, и ЛЕвитас и др.), но любая методика имеет целью показать КАК можно сформировать и развить какие-то конкретные учебные знания, а формирование интереса к учебе и собственно содержание - ЧТО формировать – это только от преподавателя зависит!
Итак, еще раз: Делаем из картона и цветной бумаги много всякого счетного материала – дети просто обожают возиться с этими картинками: помидоры, огурцы, репки, цыплята, листочки, ромашки, мячики, шарики, яблоки, конфеты, грибочки и прочее что в голову придет. Рисуем, например, помидор на картоне, вырезаете, и по нему обводите еще таких же 9 штук помидоров - всех их одинаково раскрашиваете. Очень важно, чтобы предметы были все одинаковые. Из цветной бумаги можно навырезать геометрических фигур - так заодно и считать будете, и фигуры повторять и цвета. Так вот, с этим счетным материалом придумываете разные игры. Ну, предположим, есть у вас игрушечная белочка (мягкая игрушка) – пусть собирает орешки. Складывает их в корзинку (считаете орешки), угощает друзей - каждому, предположим, по три орешка. У куклы на огороде, допустим, выросли помидоры с огурцами - считаем и то, и другое, выясняем, чего выросло больше и на сколько. Пусть раскладывает на полу эти огурцы с помидорами - они это ужас как любят. Заодно и речь развиваете:-) мимоходом напоминаете, что это овощи, что огурец- овальный, а помидор - круглый, что огурец- зеленый, а помидор - красный, ну и т.п. Считать можно в пределах десятка. Если никаких проблем нет, то через недельку - в двадцатке.
Прежде чем выходить за пределы двадцатка вы должны быть уверены, что ребенок:1. считает до 20 и обратно
2. быстро определяет количество предметов в пределах 10 (грибы у вас в лесу могут расти по три штуки, по пять, по десять...)
3. понимает где предметов больше, а где меньше, где одинаковое количество (можно раскладывать предметы в два ряда: предположим, яблоки, а под ними груши - каждая груша под яблоком, чтобы было наглядно видно, чего больше, чего меньше. Также можно сравнивать "кучки": кладете в одну кучку 7 вишенок, а в другую кучку 15 клубничек, и говорите: Незнайка мне сказал, что тут одних ягодок- 7, а других - 15. А сколько каких - не знает. Как ты думаешь, тут 7 вишенок или клубничек? А 15? Таким образом формируется "чувство количества". Сначала можно давать количества явно отличающиеся, а затем иллюстрировать рядом стоящие - 14 и 15, к примеру.
4. понимает состав числа, т.е. может разложить число на слагаемые (у нас 5 яблок, пробуем разложить эти яблоки на две тарелки разными способами: 1 и 4, 2 и 3, 3 и 2, 4 и 1, 5 и 0.
5. понимает значение слов "добавить" "прибавить", "убрать", "отнять", "равно". Вот такие задачки на состав числа: Для супа Маше нужны четыре картофелины, две у нее уже есть. Сколько ей не хватает картофелин, чтобы стало 4? Сколько нужно добавить? Обязательно все эти действия иллюстрируете (и больше рассказываете, чем спрашиваете) - вот у нее две есть (кладете, а в сторонке у вас еще картофелины лежат), давай будем добавлять: одну ПРИБАВИЛИ - стало ...? правильно, три. А надо четыре нам. Сколько еще надо прибавить? Правильно - еще одну. Кладете еще одну. Таким образом, и задачки решаете. Все только на наглядности. 
А затем вешаем на стенку числовую прямую: на длинной картонке-полоске пишем крупно цифры от 1 до 20 - в два ряда. 1-10, 2-20. И просто несколько дней с указкой в руке считаем туда-сюда и показываем указкой на цифры. Запоминаем цифры. Обычно через пару дней дети цифры уже знают.
И тогда - таблица сотни. Вешаем ее на стенку в детской вместе с другими прекрасными таблицами. Даже, если ребенок будет просто время от времени ее рассматривать, он очень многое научится делать. Но еще лучше будет, если взрослый будет иногда участвовать в процессе. Ничего не спрашиваете, а просто берете (даете ребенку) указку и считаете туда-обратно, по десяткам (двигаясь столбиком): 10, 20, 30, 40... по разрядным единицам: 12, 22, 32, 42, 52 .... и т.п. Вычисления: надо вам прибавить к пяти два: ставите указку на "пять" и прибавляетет два- один(передвинулись на один вправо - получили 6), два- передвинулись еще на один вправо - получили 7. Тоже самое - с вычитанием - двигаемся влево. Если надо прибавить десяток – двигаемся вниз, надо вычесть десяток -двигаемся вверх. Надо прибавить 12 – двигаемся на десяток вниз и еще на два вправо. Ничего объяснять не надо - они сами допетривают, что 24 - это 20 и 4. Что если к 5+2=7, то 15+2 - это 17, а 25+2 - это 27 и т.д. Но при всем этом продолжаете играть со счетным материалом и решать задачки. Счетные палочки - они тоже любят. Только лучше бы, чтобы они были не просто разноцветные вперемешку, а, например, 7 десятков синих палочек, один десяток - красный, один - зеленый, и один - желтый. Чтобы показать число 43 вы берете 4 синих пучка и три палочки другого цвета - так иллюстрируете десятки и единицы. И еще раз хочется уделить внимание музыкальному влиянию. 
Ученые, изучавшие взаимосвязь между восприятием музыки и мыслительными процессами (Генрих Гетце 1994, Мария Спайхигер 2000) утверждают, что оперируя математическим рядом чисел и выполняя любые арифметические действия «в уме», будь то сложение, вычитание, умножение, деление или даже извлечение корня и возведение в степень, человек достигает результата весьма похожими пространственными мыслительными операциями, что и при дифференциации звуковысотности и длительности. Иными словами, при решении математических и музыкальных задач наш мозг производит довольно схожие операции. Не случайно многие музыкальные теоретики обладают хорошими арифметическими способностями и прекрасно играют в шахматы.
Общность и единообразие математических и музыкальных процессов служат свидетельством того, что занятия математикой могут значительно облегчить изучение музыкальной гармонии и сольфеджио, и наоборот – решение музыкальных задач и упражнений или даже просто активное восприятие музыки может способствовать улучшению арифметических навыков.
Ученые, изучавшие взаимосвязь между восприятием музыки и мыслительными процессами (Генрих Гетце 1994, Мария Спайхигер 2000) утверждают, что оперируя математическим рядом чисел и выполняя любые арифметические действия «в уме», будь то сложение, вычитание, умножение, деление или даже извлечение корня и возведение в степень, человек достигает результата весьма похожими пространственными мыслительными операциями, что и при дифференциации звуковысотности и длительности. Иными словами, при решении математических и музыкальных задач наш мозг производит довольно схожие операции. Не случайно многие музыкальные теоретики обладают хорошими арифметическими способностями и прекрасно играют в шахматы.Общность и единообразие математических и музыкальных процессов служат свидетельством того, что занятия математикой могут значительно облегчить изучение музыкальной гармонии и сольфеджио, и наоборот – решение музыкальных задач и упражнений или даже просто активное восприятие музыки может способствовать улучшению арифметических навыков.
Алиса Самбурская
2004-2022 © Все права защищены.
Перепечатка материалов сайта возможна только с письменного разрешения автора
и с обязательной ссылкой на источник.
